LEYES DE LA PROBABILIDAD estadística 4prd

Leyes de la probabilidad

El desarrollo de la probabilidad ha sobrepasado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar; con exactitud, utilizando determinadas distribuciones  probabilistas. La probabilidad es  útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas  y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio probabilista.

Las leyes de la probabilidad permiten establecer una regularidad definida, al azar.

Temas:

1. Cálculo de probabilidades.

2. Probabilidad de dos o más eventos combinados.

3. Caracterización de datos  y probabilidad.

Calculo de probabilidades

El cálculo de probabilidades fundamenta la toma de decisiones en los experimentos aleatorios. A continuación se estudiarán las leyes de las probabilidades que hacen referencia a la probabilidad de ocurrencia de un evento, axiomas de la probabilidad, probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos y el cálculo de probabilidades d¿a partir de la caracterización hecha a los datos.

Probabilidad

Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, “Organización Mundial de Dados”).

El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

¿Cómo se mide la probabilidad?

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P(A) = Casos favorables / casos posibles

Veamos algunos ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:

P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:

P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)

c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

d) Probabilidad de que nos toque el “Gordo” de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste…¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)

Merece la pena …… Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías?

Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:

a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla “casos favorables / casos posibles” el cociente siempre sería cero.

b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.

A la regla de Laplace también se le denomina “probabilidad a priori”, ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.

¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos una denuncia?

No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):

Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.

Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale “cara”, quiere decir que el suceso “cara” ha aparecido el 100% de las veces y el suceso “cruz” el 0%.

Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso “cara” salga 7 veces y el suceso “cruz” las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso “cara” ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.

Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos “cara” y “cruz” se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.

En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.

Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la “cara” saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la “cruz” del 35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista.

Probabilidad simple

La probabilidad es una medida de incertidumbre que aporta elementos a la hora de tomar una decisión. Así, si es poco probable que una persona venga visitarnos, entonces podemos salir de casa. Si por el contrario, la probabilidad que la persona venga a nuestra casa es alta entonces esperamos a la persona que viene de visita.

Probabilidad de ocurrencia de un evento:

La probabilidad es la medida de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio. Luego, en caso debe existir un experimento aleatorio y su espacio muestral correspondiente.

Dado un experimento aleatorio con un espacio muestral S  y un evento A, se dice que la probabilidad de que ocurra A, simbolizada P(A), se calcula mediante el cociente entre el número de elementos del evento y el número de elementos del espacio así:

P(A)= n (A)/ n (A)

Casos posibles y casos favorables:

Otra forma útil de hallar la probabilidad es mediante el cálculo del cociente entre el número de casos favorables y posibles.

Dado un experimento aleatorio definido por un número de casos posibles, y un evento que tiene  un número de casos favorables, la probabilidad de que  el evento ocurra es: 

P = número de casos favorables / número de casos posibles

Propiedades de la probabilidad:c

Para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento, es necesario tener en cuenta algunas propiedades:

Primera:  La probabilidad de ocurrencia de un evento siempre debe ser un número que está entre 0 y 1. La razón de ésto, es que el número de elementos del eventos siempre es menor o igual que el número de elementos del espacio muestral. Formalmente se puede decir que si A es cualquier evento de un experimento aleatorio, entonces:

0 _< P (A) _< 1

Segunda: La probabilidad del evento imposible es 0 y se representa como.

P (/O)= 0

Tercera :  Si el evento  es igual al espacio muestral su probabilidad es 1. En otras palabras, la probabilidad del evento seguro es 1, y su representación es

P(S)= 1

Probabilidad de dos o más eventos combinados

Para calcular la probabilidad de dos o más eventos combinados se usa la representación gráfica en diagramas de Venn, en diagramas de árbol y en algunos casos  en diagrama de rejilla, ademas de la fórmula para calcular la probabilidad de un evento simple.

Diagramas de Venn y probabilidades:

La representación gráfica de un experimento  aleatorio mediante diagramas de Venn  facilita el conteo de los elementos y el cálculo  de las probabilidades. A continuación se anuncian las principales propiedades de la probabilidad a partir de los diagramas de Venn

Primera: Si A  es un evento, la probabilidad de que A no ocurra, equivale a encontrar la probabilidad de ocurrencia del complemento de A, es decir, P(Ac). Luego la probabilidad de que el evento A no ocurra se calcula P(Ac)= 1 – P(A).

En el diagrama de Venn ésta situación corresponde a la parte sombreada.